來源：數(shù)學傳播
楊振寧是當代的大物理學家，又是現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的重要推動者，他的兩項巨大成就： 楊–密爾斯規(guī)范場和楊–巴克斯特方程，成為80年代以來一系列數(shù)學研究的出發(fā)點，其影響遍及微分幾何、偏微分方程、低維拓撲、辮結理論、量子群等重大數(shù)學學科。
這里記錄的有關數(shù)學與物理學的關系，來自筆者在1995年末在紐約州立大學（石溪） 訪問楊振寧先生時的一些談話材料，不是系統(tǒng)的談話。本文的中文版于1992年4月在臺灣《數(shù)學傳播》發(fā)表，內容不完全相同的英文版則刊于Mathematical IntelligencerVol.15， NO.4， 1993。后者的中譯文已被收入楊振寧的新著《讀書教學再十年》（臺灣時報出版公司，1995）。
有關數(shù)學的兩則“笑話”
1980年代初，楊振寧曾在韓國漢城作物理學演講時說“有那么兩種數(shù)學書： 第一種你看了第一頁就不想看了，第二種是你看了第一句話就不想看了”。當時引得物理學家們轟堂大笑。
此話事出有因。
1969年，楊振寧察覺物理上的規(guī)范場理論和數(shù)學上的纖維叢理論可能有關系，就把著名拓撲學家Steenrod著的“The Topology of Fibre Bundles纖維叢的拓撲”一書拿來讀，結果是一無所獲。原因是該書從頭至尾都是定義、定理、推論式的純粹抽象演繹，生動活潑的實際背景淹沒在形式邏輯的海洋之中，使人摸不著頭腦。
上述漢城演講中那句話本來是即興所開的玩笑，不能當真的。豈料不久之后被Mathematical Intelligencer雜志捅了出來，公之與眾。在數(shù)學界當然會有人表示反對，認為數(shù)學書本來就應該是那樣的。不過，楊振寧先生說“我相信會有許多數(shù)學家支持我，因為數(shù)學畢竟要讓更多的人來欣賞，才會產生更大的效果”。
我想，楊振寧是當代物理學家中特別偏愛數(shù)學，而且大量運用數(shù)學的少數(shù)物理學者之一。如果連他也對某些數(shù)學著作的表達方式嘖有煩言，遑論其它的物理學家？ 更不要說生物學家、經濟學家、一般的社會科學家和讀者了。
另一則笑話，可在波蘭裔美國數(shù)學名家S.M.Ulam 的自傳《一個數(shù)學家的遭遇》（Advantures of a mathematician） ”中讀到。該書294頁上寫道： “楊振寧，諾貝爾物理學獎獲得者，講了一個有關現(xiàn)時數(shù)學家和物理家間不同思考方式的故事： 一天晚上，一幫人來到一個小鎮(zhèn)。他們有許多衣服要洗，于是滿街找洗衣房。突然他們見到一扇窗戶上有標記：‘這里是洗衣房’。一個人高聲問道： ‘我們可以把衣服留在這兒讓你洗嗎？’窗內的老板回答說：‘不，我們不洗衣服?！瘉砣擞謫柕溃骸銈兇皯羯喜皇菍懼窍匆路繂帷?。老板又回答說： ‘我們是做洗衣房標記的，不洗衣服’。這很有點像數(shù)學家。數(shù)學家們只做普遍適合的標記，而物理學家卻創(chuàng)造了大量的數(shù)學?！?/p>
楊振寧教授的故事是一則深刻的寓言。數(shù)學圈外的人們對數(shù)學家們“只做標記，不洗衣服“的做法是不贊成的。數(shù)學家Ulam 在引了楊振寧的“笑話”之后，問道，信息論是工程師C。 Shannon創(chuàng)立的，而純粹數(shù)學家為什么不早就建立起來？ 他感嘆地說：“現(xiàn)今的數(shù)學和19世紀的數(shù)學完全不同，甚至百分之九十九的數(shù)學家不懂物理。然而有許許多多的物理概念，要求數(shù)學的靈感，新的數(shù)學公式，新的數(shù)學觀念?！?/p>
理論物理的“猜”和數(shù)學的“證”
1995年12月，楊振寧先生接到復旦大學校長楊福家的來信，請楊振寧在1996年5月到復旦為“楊武之講座”做首次演講。楊武之教授是楊振寧的父親，又是中國數(shù)學前輩，早年任清華大學數(shù)學系系主任多年，五十年代后則在復旦大學任教授，所以楊振寧很愉快地接受了邀請。但是他不能像楊福家校長要求的那樣做20次演講，只準備講三次。順著這一話題，楊振寧先生又談了理論物理和數(shù)學的一些關系。
楊先生說：“理論物理的工作是‘猜’，而數(shù)學講究的是‘證’。理論物理的研究工作是提出‘猜想’，設想物質世界是怎樣的結構，只要言之成理，不管是否符合現(xiàn)實，都可以發(fā)表。一旦‘猜想’被實驗證實，這一猜想就變成真理。如果被實驗所否定，發(fā)表的論文便一文不值（當然失敗是成功之母，那是另一層意思了）。數(shù)學就不同，發(fā)表的數(shù)學論文只要沒有錯誤，總是有價值的。因為那不是猜出來的，而有邏輯的證明。邏輯證明了的結果，總有一定的客觀真理性。”
“正因為如此，數(shù)學的結果可以講很長的時間，它的結果以及得出這些結果的過程都是很重要的。高斯給出代數(shù)學基本定理的五種證明，每種證明都值得講。如果讓丘成桐從頭來講卡拉比（Calabi） 猜想的證明，他一定會有20講。但是教我講‘宇稱不守恒’是怎么想出來的，我講不了多少話。因為當時我們的認識就是朝否定宇稱守恒的方向想，‘猜測’不守恒是對的。根據(jù)有一些，但不能肯定。究竟對不對，要靠實驗?！?/p>
楊先生最后說：“理論物理的工作好多是做無用功，在一個不正確的假定下猜來猜去，文章一大堆，結果全是錯的。不像數(shù)學，除了個別錯的以外，大部分都是對的，可以成立”。
楊先生的這番話，使我想起不久前Quine和Jaffe的一篇文章，發(fā)表于Bulletin of AMS，1993年8月號，曾引起相當?shù)霓Z動。該文的主題是問“猜測數(shù)學是否允許存在？ ”。其中提到，物理學已經有了分工，理論物理做“猜測”，實驗物理做“證明”。但是數(shù)學沒有這種分工。一個數(shù)學家，既要提出猜想，又要同時完成證明。除了希爾伯特那樣的大人物可以提出23個問題，其猜想可以成為一篇大文章之外，一般數(shù)學家至多在文章末尾提點猜想以增加讀者的興趣，而以純粹的數(shù)學猜想為主體的文章是無處發(fā)表的。因此，兩位作者建議允許“理論數(shù)學”，即“猜測數(shù)學”的存在。
這樣一來，現(xiàn)在有兩種相互對立的看法。一方面，物理學界中像楊振寧先生那樣，覺得理論物理的研究太自由，胡亂猜測皆成文章，認為數(shù)學還比較好的。另一方面，數(shù)學界如Quine和Jaffe那樣，覺得目前數(shù)學研究要求每個結論都必需證明的要求，太束縛人的思想。應該允許人們大膽地猜測，允許有根據(jù)而未經完全確認的數(shù)學結論發(fā)表出來。二者孰是孰非，看來需要一個平衡。許多問題涉及哲學和社會學層面，就不是三言兩語可以解決的了。
復數(shù)、四元數(shù)的物理意義
虛數(shù)i=p?1 的出現(xiàn)可溯源于15世紀時求解三次方程，但到18世紀的歐拉時代，仍稱之為“想象的數(shù)”（imaginary）。數(shù)學界正式接受它要到19世紀，經Cauchy、Gauss、Riemann、Weierstrass 的努力，以漂亮的復變量函數(shù)論贏得歷史地位。至于在物理學領域，一直認為能夠測量的物理量只是實數(shù)，復數(shù)是沒有現(xiàn)實意義的。盡管在19世紀，電工學中大量使用復數(shù)，有復數(shù)的動勢，復值的電流，但那只是為了計算的方便。沒有復數(shù)，也能算出來，只不過麻煩一些而已。計算的最后結果也總是實數(shù)，并沒有承認在現(xiàn)實中有真有“復數(shù)”形態(tài)的電流。鑒于此，楊振寧先生說，直到本世紀初，情況仍沒有多少改變。一個例證是創(chuàng)立量子電動力學的薛定諤（Schrodinger）。1926年初，據(jù)考證，他似乎已經得到現(xiàn)在我們熟悉的方程
其中含有虛數(shù)單位i，是復函數(shù)，但最后總是取實部。薛定諤因其中含虛數(shù)而對（1） 不滿意，力圖找出不含復數(shù)的基本方程。于是他將上式兩面求導后化簡，得到了一個沒有虛數(shù)的復雜的高階微分方程
1926年的6月6日，薛定諤在給洛蘭茲的一封長信中，認為這一不含復數(shù)的方程（2）“可能是一個普遍的波動方程?！边@時，薛定諤正在為消除復數(shù)而努力。但是，到了同年的6月23日，薛定諤領悟到這是不行的。在論文[5]中，他第一次提出： “是時空的復函數(shù)，并滿足復時變方程（1）。”并把（1） 稱謂真正的波動方程。其內在原因是，描寫量子行為的波函數(shù)，不僅有振幅大小，還有相位，二者相互聯(lián)系構成整體，所以量子力學方程非用復數(shù)不可。另一個例子是H.Weyl在1918年發(fā)展的規(guī)范理論，被拒絕接受，也是因為沒有考慮相因子，只在實數(shù)范圍內處理問題。后來由Fock和London用加入虛數(shù)i 的量子力學加以修改，Weyl 的理論才又重新復活。數(shù)學傳播21卷2期牛頓力學中的量全都是實數(shù)量，但到量子力學，就必須使用復數(shù)量。楊振寧和米爾斯在1954年提出非交換規(guī)范場論，正是注意到了這一點，才會把Weyl規(guī)范理論中的相因子推廣到李群中的元素，完成了一項歷史性的變革。1959年，Aharanov和Bohm設計一個實驗，表明向量勢和數(shù)量勢一樣，在量子力學中都是可以測量的，打破了“可測的物理量必須是實數(shù)”的框框。這一實驗相當困難，最后由日本的Tanomura及其同事于1982和1986先后完成。這樣，物理學中的可測量終于擴展到了復數(shù)。
令我驚異的是，楊振寧教授預言，下一個目標將是四元數(shù)進入物理學。
自從1843年愛爾蘭物理學家和數(shù)學家Hamiton 發(fā)現(xiàn)四元數(shù)之后，他本人曾花了后半輩子試圖把四元數(shù)系統(tǒng)，像復數(shù)系統(tǒng)那樣地廣泛運用于數(shù)學和物理學，開創(chuàng)四元數(shù)的世紀。但結果是令人失望的。人們曾評論這是“愛爾蘭的悲劇”。
時至今日，一個大學數(shù)學系的畢業(yè)生可能根本不知道有四元數(shù)這回事，最多也不過是非交換代數(shù)的一個例子而已。我還記起，1986年春，錢學森在致中國數(shù)學會理事長王元的一封信中，曾建議多學計算器知識，而把研究“四元數(shù)解析”（復變函數(shù)論的推廣） 的工作貶為“像上一個世紀”東西?？傊?，我和許多數(shù)學工作者一樣，認為四元數(shù)發(fā)現(xiàn)，只不過是“抽象的數(shù)學產物”，不會有什么大用處的。
楊振寧向我解釋了他的想法： 物理學離不開對稱。除了幾何對稱之外，還有代數(shù)對稱。試看四元數(shù)a+bi+cj+dk，其基本單位滿足i^2 = j^2 = k^2 = ?1，而ij = k， jk =i ， ki = j ； ij = ?ji ， jk = ?kj ， ki =?ik 。像這種對稱的性質在物理學中經?？梢耘龅?。問題是這種四元數(shù)的對稱還沒有真正用于物理現(xiàn)象，而且物理現(xiàn)象中的一些對稱也還沒有找到基本的數(shù)學源由。
最近，丘成桐等人的文章說：“我在1977年發(fā)表的一篇文章—Condition of Self-duality for SU（2） gauge fields on Euclidean four-dimensional space，曾推動代數(shù)幾何中穩(wěn)定叢的解析處理的理論。我還沒有問過數(shù)學家，不知道這是怎么一回事。許多工作，包括運用四元數(shù)表示的物理理論，也許會在這種交流中逐步浮現(xiàn)的”。
楊振寧先生又說，至于將復變函數(shù)論形式地推廣到四元數(shù)解析理論，由于四元數(shù)乘積的非交換性，導數(shù)無法唯一確定，所以不會有什么好結果出來?，F(xiàn)在也有物理學家寫成著作，用四元數(shù)來描寫現(xiàn)有的物理定律，就沒有引起什么注意。將來要用四元數(shù)表達的物理定律，一定會是一組非線性微分方程組，其解的對稱性必需用四元數(shù)來表示。所以，楊先生相信：“愛爾蘭的悲劇是會變成喜劇的”。
“雙葉”比喻
數(shù)學和物理學的關系，應該是十分密切的。在數(shù)學系以外的課程中，物理系開設的數(shù)學課最多最深?！拔锢韺W公理化，數(shù)學化”，曾是一個時期許多大學問家追逐的目標。
不過，擅長使用數(shù)學于物理的楊振寧教授卻認二者間的差別很大。他有一個生動的“雙葉”比喻，來說明數(shù)學和物理學之間的關系（如下圖）。他認為數(shù)學和物理學像一對“對生”的樹葉，他們只在基部有很小的公共部分，多數(shù)部分則是相互分離的。
楊振寧先生解釋說： “它們有各自不同的目標和價值判斷準則，也有不同的傳統(tǒng)。在它們的基礎概念部分，令人吃驚地分享著若干共同的概念，即使如此，每個學科仍舊按著自身的脈絡在發(fā)展。”
